Под поле – Поле (алгебра) — Википедия — Стройматериалы Пирамида в Демихово

Поле (алгебра) — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Поле.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля^[⇨].

Формальные определенияПравить

Алгебра над множеством F{\displaystyle F} , образующая коммутативную группу по сложению +{\displaystyle +} над F{\displaystyle F} с нейтральным элементом 0{\displaystyle {\boldsymbol {0}}} и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами F∖{0}{\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}} , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество F{\displaystyle F} с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения +{\displaystyle +} и умножения ∗{\displaystyle *} (+:F×F→F,∗:F×F→F{\displaystyle +\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F} , т. е. ∀a,b∈F(a+b)∈F,a∗b∈F{\displaystyle \forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F} ) называется полем ⟨F,+,∗⟩{\displaystyle \left\langle F,+,*\right\rangle } , если выполнены следующие аксиомы:

Коммутативность сложения: ∀a,b∈Fa+b=b+a{\displaystyle \forall a,b\in F\quad a+b=b+a} .
Ассоциативность сложения: ∀a,b,c∈F(a+b)+c=a+(b+c){\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)} .
Существование нулевого элемента: ∃0∈F:∀a∈Fa+0=a{\displaystyle \exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a} .
Существование противоположного элемента: ∀a∈F∃(−a)∈F:a+(−a)=0{\displaystyle \forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}} .

Коммутативность умножения: ∀a,b∈Fa∗b=b∗a{\displaystyle \forall a,b\in F\quad a*b=b*a} .
Ассоциативность умножения: ∀a,b,c∈F(a∗b)∗c=a∗(b∗c){\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)} .
Существование единичного элемента: ∃e∈F∖{0}:∀a∈Fa∗e=a{\displaystyle \exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a} .
Существование обратного элемента для ненулевых элементов: (∀a∈F:a≠0)∃a−1∈F:a∗a−1=e{\displaystyle (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e} .
Дистрибутивность умножения относительно сложения: ∀a,b,c∈F(a+b)∗c=(a∗c)+(b∗c){\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)} .

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению +{\displaystyle +} над F{\displaystyle F} , аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению ∗{\displaystyle *} над F∖{0}{\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}} , а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.

Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля.

Связанные определенияПравить

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение f{\displaystyle f} , такое что f(a+b)=f(a)+f(b){\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} , f(ab)=f(a)⋅f(b){\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)} и f(1)=1{\displaystyle f(1)=1} . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как f(a)⋅f(a−1)=f(a⋅a−1)=1{\displaystyle f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1} , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число n{\displaystyle n} такое, что сумма n{\displaystyle n} копий единицы равна нулю:

1+⋯+1⏟n=n1=0.{\displaystyle \underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.}

Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

Характеристика поля всегда 0{\displaystyle 0} или простое число.
- Поле характеристики 0{\displaystyle 0} содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } .
- Поле простой характеристики p{\displaystyle p} содержит подполе, изоморфное полю вычетов Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} .
Количество элементов в конечном поле всегда равно pn{\displaystyle p^{n}} — степени простого числа.
- При этом для любого числа вида pn{\displaystyle p^{n}} существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из pn{\displaystyle p^{n}} элементов, обычно обозначаемое Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} .
В поле нет делителей нуля.
Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} изоморфна Zq−1{\displaystyle \mathbb {Z} _{q-1}} .
С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Поля характеристики, равной 0Править

Q{\displaystyle \mathbb {Q} } — рациональные числа,
R{\displaystyle \mathbb {R} } — вещественные числа,
C{\displaystyle \mathbb {C} } — комплексные числа,
A{\displaystyle \mathbb {A} } — алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле C{\displaystyle \mathbb {C} } ).
Числа вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}} , a,b∈Q{\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} } , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в R{\displaystyle \mathbb {R} } .
F(x){\displaystyle \mathbb {F} (x)} — поле рациональных функций вида f(x)/g(x){\displaystyle f(x)/g(x)} , где f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} — многочлены над некоторым полем F{\displaystyle \mathbb {F} } (при этом g≠0{\displaystyle g\neq 0} , а f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} не имеют общих делителей, кроме констант).

Поля ненулевой характеристикиПравить

Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:

Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.

Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
Galois, Évariste. Sur la théorie des nombres (неопр.) // Bulletin des Sciences mathématiques. — 1830. — Т. XIII. — С. 428.
Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.

ru.m.wikipedia.org

поле под — с немецкого на русский

поле под паром — Syn: пар … Тезаурус русской деловой лексики

ПОЛЕ — я, мн. поля, полей, ср. 1. Безлесная равнина, ровное (в отличие от селения, леса) обширное пространство. «И вот нашли большое поле: есть разгуляться где на воле.» Лермонтов. «Князь по полю едет на верном коне.» Пушкин. «Владимир ехал полем,… … Толковый словарь Ушакова

ПОД — (1) ПОД (1) пода, о поде, на поду, м. Горизонтальная поверхность в печи, в печной топке, на к–рую кладется топливо. Печь пирог прямо на поду. Выложить под гладким кирпичом. Под в технике называется дном печи. (2) ПОД (2) и подо (см.) [без удар.,… … Толковый словарь Ушакова

под — (1) ПОД (1) пода, о поде, на поду, м. Горизонтальная поверхность в печи, в печной топке, на к–рую кладется топливо. Печь пирог прямо на поду. Выложить под гладким кирпичом. Под в технике называется дном печи. (2) ПОД (2) и подо (см.) [без удар.,… … Толковый словарь Ушакова

под — 1) а, предл. о поде, на поду, м. Нижняя горизонтальная поверхность в печи, в печной топке. Лопата пекаря зло и быстро шаркала о под печи, сбрасывая скользкие вареные куски теста на горячий кирпич. М. Горький, Двадцать шесть и одна. Женщины… … Малый академический словарь

под — I. ПОД а, предл. о поде, на поду; м. Нижняя горизонтальная поверхность в печи, в печной топке. Женщины на горячем поду испекли калач. Лопата пекаря шаркала о п. печи. II. ПОД (без ударения, кроме тех случаев, когда оно переносится с… … Энциклопедический словарь

под — I 1. предл.; = подо без ударения, кроме тех случаев, когда оно переносится с существительного на предлог, например: по/д гору, по/д руку, по/д ноги, по/д носом кого что 1) а) Указывает на предмет, место, лицо и т.п., ниже которого и ниже… … Словарь многих выражений

ПОЛЕ — ср. простор за городом, селеньем, безлесная, незастроенная, обширная равнина; посему поле противополагается селению, лесу, горам, болоту и пр. Выйдем в поле или на поле. Скот ходит в поле. Не поле кормит, а нива, обработанная, а не простор только … Толковый словарь Даля

поле — (17) 1. Безлесное пространство, равнина, луг: …рища въ тропу Трояню чресъ поля на горы. 6. Не буря соколы занесе чресъ поля широкая. 6 7. Сами скачють, акы сѣрыи влъци въ полѣ. 8. Русичи великая поля чрьлеными щиты прегородиша, ищучи себѣ чти,… … Словарь-справочник «Слово о полку Игореве»

translate.academic.ru

поле под паром — это… Что такое поле под паром?

поле под паром: поле под паром Brachland

поле пашня площадка
поле сражения поле битвы

Смотреть что такое «поле под паром» в других словарях:

поле под паром — Syn: пар … Тезаурус русской деловой лексики
земля под паром — Поле севооборота, не занимаемое посевами в течение всего вегетационного периода и содержащееся в рыхлом и чистом от сорняков состоянии [http://www.dunwoodypress.com/148/PDF/Biotech Eng Rus.pdf] Тематики биотехнологии EN fallow … Справочник технического переводчика
ПОЛЕ — я, мн. поля, полей, ср. 1. Безлесная равнина, ровное (в отличие от селения, леса) обширное пространство. «И вот нашли большое поле: есть разгуляться где на воле.» Лермонтов. «Князь по полю едет на верном коне.» Пушкин. «Владимир ехал полем,… … Толковый словарь Ушакова
ПОЛЕ — Безлесная равнина. Слово поле общеславянского происхождения и в древности означало ‘открытый, пустой, полый’. Это значение слова отражало природно исторические условия жизни славян в древности, когда окружающее их пространство делилось на лес* и… … Лингвострановедческий словарь
Поле (сельское хозяйство) — Пастбище … Википедия
ПОДЁРНУТЬ — 1. ПОДЁРНУТЬ1, подёрну, подёрнешь, совер., что и без доп. (обл.). Дернуть. «Подернем, подернем, да ухнем!» песня. 2. ПОДЁРНУТЬ2, подёрну, подёрнешь, совер. (к подергивать), что. Слегка прикрыть тонким слоем чего нибудь, затуманить. Слеза… … Толковый словарь Ушакова
ПОДЁРНУТЬ — 1. ПОДЁРНУТЬ1, подёрну, подёрнешь, совер., что и без доп. (обл.). Дернуть. «Подернем, подернем, да ухнем!» песня. 2. ПОДЁРНУТЬ2, подёрну, подёрнешь, совер. (к подергивать), что. Слегка прикрыть тонким слоем чего нибудь, затуманить. Слеза… … Толковый словарь Ушакова
подёрнуть — 1) ну, нешь; сов., перех. прост. 1. Слегка дернуть, одернуть. [Княгиня] оправила тут складку платья, там подернула шарф и посмотрела, склонив голову, то с той, то с другой стороны. Л. Толстой, Война и мир. 2. обычно безл. Передернуть, покоробить … Малый академический словарь
шутем — поле под паром , перм., вятск. (Даль), сутьма – то же, перм., чердынск. Калима (FUF 18, 50 и сл.) предполагал заимствование из коми šut оm заросшее сорняком поле , но последнее само рассматривается как заимств. из русск. у Вихм. – Уотилы 268.… … Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера
Пар (сельское хозяйство) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пар (значения) … Википедия
лог — род. п. а долина, овраг, поле под паром , влог углубление, яма , залог – также в знач. поле под паром , пролог долина , перелог пар (поле) , излог овраг , болг. лог приманка , сербохорв. ло̑г, род. п. ло̏га лежание . От лежать. Ср. лит. atlagaĩ… … Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера

dic.academic.ru

Поле под сев, 5 букв

Примеры употребления слова пашня в литературе.

Власти запрещали разделы альменды, но одновременно запрещали и увеличение круга лиц, пользующихся альмендой, расчистку лугов и лесов под

пашни.

Расчеты ученых показали, что одной переработанной тонны апатитового концентрата достаточно для того, чтобы удобрить шесть- восемь гектаров пашни и получить дополнительно либо три тонны отборной пшеницы, либо шестнадцать тонн картофеля, либо двадцать тонн сахарной свеклы, либо две тонны хлопка.

Память направляла луч воспоминаний на давно забытый, когда-то виденный пейзаж, и вдруг ослепительно возникали перед Григорием — степной простор, летний шлях, арба, отец на передке, быки, пашня в золотистой щетине скошенных хлебов, черная россыпь грачей на дороге.

Перед его духовным взором рука времени строит города — темные и светлые, большие и маленькие, смелые и трусливые, без выбора, снова разрушает их, рисует их, рисует реки, походящие на скользящих серебряных змей, серые пустыни, арлекинский костюм полей и

пашень в коричневую, лиловую и зеленую клетку, пыльные большие дороги, островерхие тополя, благоуханные луга, пасущиеся стада и стерегущих их собак, распятия на перекрестках, белые верстовые камни, старых и молодых людей, ливни, сверкающие капли, золотые глаза лягушек в воде канав, подковы с ржавыми гвоздями, одноногих журавлей, плетни из ломкого хвороста, желтые цветы, кладбища и облака, похожие на вату, туманные вершины и пламенеющие горны: они появляются и исчезают, сменяясь, словно ночь и день, погружаются в прошлое и являются вновь, как играющие в прятки дети, если их призовет дуновение, звук, прошептанное слово.

Гофмейстер Здесь Архипастырь был, и оп доставил весть, Что стал морской прилив необычайно страшен, Ни пастбищ не щадит, пи плодородных пашен.

Источник: библиотека Максима Мошкова

xn--b1algemdcsb.xn--p1ai

поле под — с испанского на все языки

поле под паром — Syn: пар … Тезаурус русской деловой лексики

translate.academic.ru

ПОЛЕ — это… Что такое ПОЛЕ?

ПОЛЕ — ♥ Поле один из наиболее положительных символов. Однако значение его зависит от того, в каком состоянии и в какое время года вы видели поле. Видеть невспаханное, незасеянное поле ранней весной сон означает, что данный период вашей жизни… … Большой семейный сонник

поле — Пашня, луг, поляна, нива; фон, равнина, степь. В чистом поле, в широком раздолье. Фон картины. Поля шляпы, поля (края, закраины) книги. См. арена, край, место . одного поля ягоды… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под.… … Словарь синонимов

ПОЛЕ — (1) (см. (13)), существующее в виде (см.) и описываемое совокупностью пространственно временных распределений физ. величин, характеризующих рассматриваемые волны; (2) П. вращающееся магнитное ] (3) П. голографическое волновое поле (см. (1)),… … Большая политехническая энциклопедия

ПОЛЕ — ПОЛЕ, я, мн. я, ей, ср. 1. Безлесная равнина, пространство. Гулять по полю и по полю. На поле и на поле. Ледовое п. (перен.: сплошное пространство льда). 2. Обрабатываемая под посев земля, участок земли. Ржаное п. 3. Большая ровная площадка,… … Толковый словарь Ожегова

ПОЛЕ — в физике пространство, в котором можно обнаружить физические воздействия (см. Поля теория). Понятие поля заимствовала современная психология. Поле чувства – совокупность находящихся в нервном центре (см. Психофизический уровень) окончаний… … Философская энциклопедия

ПОЛЕ — 1) безлесная равнинная территория.2) Участки пашни, на которые разделена площадь севооборота, и запольные участки.3) Площадка, оборудованная для чего либо (напр., поле футбольное).4) Район боевых действий (напр., поле битвы).5) Пространство,… … Большой Энциклопедический словарь

поле — Поле брани (или битвы, сражения) (книжн.) место, где происходила битва. Пал на поле брани. На поле сражения лежали мертвые люди и лошади. Пришвин. Поле зрения перен. кругозор, область рассмотрения или изучения. тот факт остался вне… … Фразеологический словарь русского языка

dic.academic.ru

поле+под — с испанского на все языки

поле под паром — Syn: пар … Тезаурус русской деловой лексики

translate.academic.ru

Поле (алгебра) — Википедия

Формальные определенияПравить

Связанные определенияПравить

Поля характеристики, равной 0Править

Поля ненулевой характеристикиПравить

поле под — с немецкого на русский

поле под паром — это… Что такое поле под паром?

Смотреть что такое «поле под паром» в других словарях:

Поле под сев, 5 букв

Примеры употребления слова пашня в литературе.

поле под — с испанского на все языки

ПОЛЕ — это… Что такое ПОЛЕ?

поле+под — с испанского на все языки

Добавить комментарий Отменить ответ